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支持向量机(SVM)是一种基于特征空间最大边距的分类器。SVM的学习策略是使边际最大,可以转化为凸二次规划问题。在学习SVM算法之前,我先介绍一些术语。
功能边距定义为:对于给定的训练集T和超平面(w,b),超平面(w,b)和样本(xi, yi)之间的功能边距为:
超平面(w,b)和训练集T之间的功能边距是的最小值
功能边距表示分类结果的置信水平。如果超参数(w,b) 按比例变化,例如,(w,b)变为(2w,2b)。虽然超平面没有改变,但功能边距消耗增加了一倍。因此,我们在w上应用一些禁令来定义超平面,例如规范化||w|| = 1。然后,边界称为几何边距:对于给定的训练集T和超平面(w,b),超平面(w,b) 和样本(xi, yi)之间的功能边距为:
类似地,超平面(w,b) 和训练集T之间的几何边距是的最小值
现在,我们可以得出功能边距与几何边距之间的关系:
SVM模型由优化问题,优化算法和分类组成。
当数据集可线性分离时,支持向量是最接近超平面的样本,如下所示。
对样品H1和H2是之间的支持向量。在H1和H2之间的距离被称为硬边距。然后,SVM的优化问题是:
当数据集不是线性可分时,训练集中的一些样本不满足函数余量大于或等于1的条件。为了解决这个问题,我们为每个样本(xi, yi)添加一个松弛变量。然后,约束是:
同时,为每个松弛变量添加成本。目标函数是:
其中C是惩罚系数。当C规模很大时,对错误分类的惩罚将会增加,然而对错误分类的惩罚将会减少。然后,SVM的优化问题是:
支撑向量位于边距的边界上或边界和超平面之间,如下所示。在这种情况下,边距为软边距。
当数据集不是线性可分的时,它需要应用内核技巧将数据从原始空间转换为特征空间。内核技巧的函数叫做内核函数,定义如下:
其中是从输入空间到特征空间的映射,即
内核技巧的代码如下所示:
def kernelTransformation(self, data, sample, kernel): sample_num, feature_dim = np.shape(data) K = np.zeros([sample_num]) if kernel == "linear": # linear function K = np.dot(data, sample.T) elif kernel == "poly": # polynomial function K = (np.dot(data, sample.T) + self.c) ** self.n elif kernel == "sigmoid": # sigmoid function K = np.tanh(self.g * np.dot(data, sample.T) + self.c) elif kernel == "rbf": # Gaussian function for i in range(sample_num): delta = data[i, :] - sample K[i] = np.dot(delta, delta.T) K = np.exp(-self.g * K) else: raise NameError('Unrecognized kernel function') return K
应用内核技巧后,SVM的优化问题是:
其中是拉格朗日因子。
用传统的凸二次规划算法求解SVM优化问题是可行的。但是,当训练集很大时,算法将花费很长时间。为了解决这个问题,Platt提出了一种称为顺序最小优化(SMO)的有效算法。
SMO是一种启发式算法。当所有变量都遵循KKT条件时,优化问题就解决了。否则,选择两个变量并修复其他变量,并用两个变量构造凸二次规划问题。问题有两个变量:一个选择违反KKT条件的alpha,另一个选择由约束决定。表示,是变量,修复
。因此,
有如下方法计算:
如果确定,则
相应地确定。在SMO的每次迭代中,更新两个变量直到问题解决。然后,SVM的优化问题是:
当只有两个变量时,它是一个简单的二次规划问题,如下所示:
因为约束是:
当,
当,因为
,
。
优化值如下:
其中L和H是对角线的下限和上限,其计算公式为:
未切割的优化值如下:
其中E 1和E 2是预测值g(x)和实际值之间的差值。g(x)定义为:
到目前为止,我们为获得可行的解决办法:
SMO中有两个循环,即外循环和内循环。
在外部循环中,选择违反KKT条件的alpha,即
首先,按照搜索样本。如果所有样本都遵循该条件,则搜索整个数据集。
在内部循环,先搜索,这使得
最大。如果所选择的
值没有减少,请首先在边距边界上搜索样本。如果选择的
值减少,请停止搜索。否则,搜索整个数据集。如果我们在搜索整个数据集后找到可行的
,我们将选择一个新的
。
在每次迭代中,我们通过如下算式更新b:
为方便起见,我们必须存储的值,其计算方法如下:
搜索和更新代码如下所示:
def innerLoop(self, i): Ei = self.calculateErrors(i) if self.checkKKT(i): j, Ej = self.selectAplha2(i, Ei) # select alpha2 according to alpha1 # copy alpha1 and alpha2 old_alpha1 = self.alphas[i] old_alpha2 = self.alphas[j] # determine the range of alpha2 L and H in page of 126 # if y1 != y2 L = max(0, old_alpha2 - old_alpha1), H = min(C, C + old_alpha2 - old_alpha1) # if y1 == y2 L = max(0, old_alpha2 + old_alpha1 - C), H = min(C, old_alpha2 + old_alpha1) if self.train_label[i] != self.train_label[j]: L = max(0, old_alpha2 - old_alpha1) H = min(self.C, self.C + old_alpha2 - old_alpha1) else: L = max(0, old_alpha2 + old_alpha1 - self.C) H = min(self.C, old_alpha2 + old_alpha2) if L == H: # print("L == H") return 0 # calculate eta in page of 127 Eq.(7.107) # eta = K11 + K22 - 2K12 K11 = self.K[i, i] K12 = self.K[i, j] K21 = self.K[j, i] K22 = self.K[j, j] eta = K11 + K22 - 2 * K12 if eta <= 0: # print("eta <= 0") return 0 # update alpha2 and its error in page of 127 Eq.(7.106) and Eq.(7.108) self.alphas[j] = old_alpha2 + self.train_label[j]*(Ei - Ej)/eta self.alphas[j] = self.updateAlpha2(self.alphas[j], L, H) new_alphas2 = self.alphas[j] self.upadateError(j) # update the alpha1 and its error in page of 127 Eq.(7.109) # new_alpha1 = old_alpha1 + y1y2(old_alpha2 - new_alpha2) new_alphas1 = old_alpha1 + self.train_label[i] * self.train_label[j] * (old_alpha2 - new_alphas2) self.alphas[i] = new_alphas1 self.upadateError(i) # determine b in page of 130 Eq.(7.115) and Eq.(7.116) # new_b1 = -E1 - y1K11(new_alpha1 - old_alpha1) - y2K21(new_alpha2 - old_alpha2) + old_b # new_b2 = -E2 - y1K12(new_alpha1 - old_alpha1) - y2K22(new_alpha2 - old_alpha2) + old_b b1 = - Ei - self.train_label[i] * K11 * (old_alpha1 - self.alphas[i]) - self.train_label[j] * K21 * (old_alpha2 - self.alphas[j]) + self.b b2 = - Ej - self.train_label[i] * K12 * (old_alpha1 - self.alphas[i]) - self.train_label[j] * K22 * (old_alpha2 - self.alphas[j]) + self.b if (self.alphas[i] > 0) and (self.alphas[i] < self.C): self.b = b1 elif (self.alphas[j] > 0) and (self.alphas[j] < self.C): self.b = b2 else: self.b = (b1 + b2)/2.0 return 1 else: return 0
我们可以使用优化的参数进行预测,该参数由下式给出:
for i in range(test_num): kernel_data = self.kernelTransformation(support_vectors, test_data[i, :], self.kernel) probability[i] = np.dot(kernel_data.T, np.multiply (support_vectors_label, support_vectors_alphas)) + self.b if probability[i] > 0: prediction[i] = 1 else: prediction[i] = -1
SVM是一种比以前的算法更复杂的算法。在本文中,我们简化了搜索过程,使其更容易理解。最后,让我们将我们的SVM与Sklearn中的SVM进行比较,检测性能如下所示:
检测性能比sklearn更差,这是因为我们的SVM中的SMO比sklearn更简单。
可以在找到本文中的相关代码和数据集。
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